Niveau conseillé : Bac+1 / Bac+2 — Cycle préparatoire, BTS, BUT, Licence

Présentation du chapitre

Les systèmes numériques prennent des décisions à partir d’informations qui ne possèdent que deux états : actif ou inactif, vrai ou faux, présence ou absence, niveau haut ou niveau bas. Pour raisonner indépendamment des tensions électriques exactes, on remplace ces états physiques par des variables binaires notées 0 et 1.

Une fonction logique décrit la relation entre plusieurs variables d’entrée et une ou plusieurs sorties. Elle peut être présentée sous forme verbale, par une table de vérité, par une expression algébrique, par un symbole de porte ou par un chronogramme. La maîtrise du passage entre ces représentations constitue la base de toute conception en logique combinatoire.

Le chapitre étudie d’abord les variables, les fonctions, les tables de vérité et les expressions. Il présente ensuite les portes NON, ET et OU, puis les portes universelles NAND et NOR. Enfin, il analyse les portes XOR et XNOR ainsi que leurs applications en comparaison, addition, détection de changement et contrôle de parité.

Objectifs pédagogiques

Prérequis

• comprendre les niveaux logiques 0 et 1 ainsi que la logique positive ;
• lire un chronogramme simple et reconnaître un front montant ou descendant ;
• maîtriser le comptage binaire sur quelques bits ;
• savoir qu’avec n entrées binaires il existe 2ⁿ combinaisons possibles.

Organisation du chapitre

Figure 1 — Symboles et équations des principales portes étudiées dans ce chapitre.

4.1. Variables et fonctions logiques

4.1.1. Variable binaire

Une variable binaire est une grandeur abstraite qui ne peut prendre que deux valeurs. On la note généralement par une lettre majuscule : A, B, C pour les entrées ; Q, S ou Y pour les sorties. Les valeurs 0 et 1 ne sont pas nécessairement des nombres à additionner : elles représentent avant tout deux états logiques opposés.

4.1.2. Logique positive et logique négative

En logique positive, le niveau électrique le plus élevé est associé à l’état 1 et le niveau le plus faible à l’état 0. En logique négative, cette association est inversée. Sauf indication contraire, les tables et équations de ce cours utilisent la logique positive. La fonction logique reste une relation abstraite ; sa réalisation électrique dépend ensuite de la technologie et de la convention de niveaux.

4.1.3. Fonction logique

Une fonction logique associe à chaque combinaison des entrées une valeur de sortie déterminée. Si une sortie Q dépend de deux variables A et B, on écrit Q = f(A, B). Pour trois variables, Q = f(A, B, C). Dans un circuit combinatoire idéal, la sortie dépend uniquement des valeurs présentes aux entrées, sans mémoire de l’état passé.

Q = f(A, B, C, …), avec A, B, C, Q ∈ {0, 1}

Le nombre d’entrées d’une fonction est parfois appelé son arité. Une porte NON a une entrée ; les portes ET, OU, NAND, NOR, XOR et XNOR sont souvent représentées avec deux entrées, mais plusieurs d’entre elles existent aussi avec trois entrées ou davantage.

4.1.4. Table de vérité

Une table de vérité énumère toutes les combinaisons possibles des entrées et indique, pour chacune, la valeur de la sortie. Elle constitue une description complète et non ambiguë de la fonction. Avec n variables d’entrée, la table contient 2ⁿ lignes de données.

Nombre de combinaisons d’entrée = 2ⁿ

Figure 2 — Méthode régulière de génération des combinaisons d’entrée.

1. Lister les variables d’entrée dans un ordre fixe, par exemple A, B, C.

2. Créer 2ⁿ lignes, sans compter l’en-tête.

3. Faire varier la variable de droite à chaque ligne, la suivante toutes les deux lignes, puis toutes les quatre lignes, etc.

4. Évaluer la sortie pour chaque combinaison à partir du cahier des charges ou de l’expression.

5. Relire les lignes limites, notamment toutes les entrées à 0 et toutes les entrées à 1.

4.1.5. Expression logique

Une expression logique combine des variables à l’aide d’opérateurs. Les trois opérateurs fondamentaux sont le complément NON, le produit logique ET et la somme logique OU. L’expression peut être évaluée ligne par ligne, transformée algébriquement ou traduite directement en un réseau de portes.

4.1.6. Équivalence de deux expressions

Deux expressions sont logiquement équivalentes lorsqu’elles produisent la même sortie pour toutes les combinaisons d’entrée. La vérification la plus directe consiste à construire leurs tables de vérité et à comparer les colonnes de sortie. Cette notion sera approfondie dans le chapitre consacré à l’algèbre de Boole.

4.2. Portes logiques de base

Une porte logique est un circuit élémentaire qui réalise physiquement une fonction booléenne. Son symbole représente la fonction abstraite ; les valeurs de tension qui correspondent à 0 et 1 dépendent de la famille technologique. Dans les analyses suivantes, les portes sont supposées idéales : les retards de propagation et les niveaux indéterminés sont ignorés sauf mention contraire.

4.2.1. Porte NON — inverseur

La porte NON possède une seule entrée. Sa sortie prend toujours la valeur opposée à l’entrée. Elle est également appelée inverseur. Le petit cercle placé sur la sortie du symbole indique l’inversion ou l’activation à l’état bas.

Q = ¬A

Sur un chronogramme idéal, chaque changement de A est immédiatement reproduit à l’opposé sur Q. Dans un composant réel, la sortie change après un faible temps de propagation.

4.2.2. Porte ET

La porte ET produit 1 uniquement lorsque toutes ses entrées valent 1. Elle représente une condition cumulative : chaque exigence doit être satisfaite. Pour deux entrées, la notation du produit logique est A·B ; ce point n’est pas une multiplication arithmétique ordinaire, même si certaines propriétés sont similaires.

Q = A · B

4.2.3. Porte OU

La porte OU produit 1 dès qu’au moins une entrée vaut 1. Elle représente une condition alternative ou inclusive. Le cas A = 1 et B = 1 donne également une sortie à 1, ce qui distingue OU de OU exclusif.

Q = A + B

4.2.4. Lecture des chronogrammes

Figure 3 — Chronogrammes idéalisés des portes NON, ET et OU.

1. Découper l’axe du temps en intervalles où les entrées restent constantes.

2. Lire les valeurs de toutes les entrées sur un même intervalle.

3. Appliquer la table de vérité de la porte.

4. Reporter la valeur de sortie sur tout l’intervalle.

5. Dans une étude réelle, décaler le changement de sortie du temps de propagation indiqué par le composant.

4.2.5. Comparaison des portes de base

4.3. Portes logiques universelles

4.3.1. Notion d’universalité

Une porte est dite universelle lorsqu’elle permet, à elle seule, de réaliser les opérations NON, ET et OU. Comme toute fonction logique peut être construite à partir de ces opérations fondamentales, une famille composée uniquement de portes universelles peut implanter n’importe quelle fonction combinatoire.

L’universalité possède un intérêt industriel : réduire le nombre de références de composants, réutiliser les portes disponibles dans un circuit intégré et simplifier certaines réalisations. Elle ne garantit toutefois pas que la solution obtenue soit la plus rapide ou la plus économique en nombre de portes.

4.3.2. Porte NAND

NAND signifie NOT-AND. La porte calcule d’abord le produit logique des entrées, puis inverse le résultat. Sa sortie vaut donc 0 uniquement lorsque toutes les entrées valent 1. Dans tous les autres cas, la sortie vaut 1.

Q = ¬(A · B)

4.3.3. Réalisation de NON, ET et OU avec NAND

Figure 4 — Principe de l’universalité de la porte NAND.

4.3.4. Porte NOR

NOR signifie NOT-OR. La porte calcule la somme logique, puis inverse le résultat. Sa sortie vaut 1 uniquement lorsque toutes les entrées valent 0. Dès qu’une entrée est active, la sortie devient 0.

Q = ¬(A + B)

4.3.5. Réalisation de NON, OU et ET avec NOR

Figure 5 — Principe de l’universalité de la porte NOR.

4.3.6. Choisir entre NAND et NOR

4.4. Portes logiques particulières

4.4.1. Porte OU exclusif — XOR

La porte XOR produit 1 lorsque ses deux entrées sont différentes. Pour deux variables, elle correspond à l’idée « A ou B, mais pas les deux simultanément ». Elle est particulièrement utile pour détecter une différence, calculer le bit de somme d’un additionneur et déterminer la parité d’un ensemble de bits.

Q = A ⊕ B = ¬A·B + A·¬B

4.4.2. Porte d’équivalence — XNOR

La porte XNOR est le complément de XOR. Elle produit 1 lorsque ses deux entrées sont égales : toutes les deux à 0 ou toutes les deux à 1. Elle est donc également appelée porte d’équivalence ou comparateur d’égalité sur un bit.

Q = ¬(A ⊕ B) = A·B + ¬A·¬B

4.4.3. Comparaison de XOR et XNOR

4.4.4. Application à la comparaison

Pour comparer deux bits A et B, XNOR fournit directement le signal d’égalité. Pour comparer deux mots binaires de plusieurs bits, on applique XNOR à chaque paire de positions puis on combine tous les résultats par une porte ET. Les mots sont égaux uniquement si toutes les paires de bits sont égales.

Égalité sur n bits : E = XNOR(Aₙ₋₁,Bₙ₋₁) · … · XNOR(A₀,B₀)

4.4.5. Application à l’addition — demi-additionneur

L’addition de deux bits A et B produit un bit de somme S et un bit de retenue R. La somme vaut 1 lorsque un seul des bits est à 1 : c’est une fonction XOR. La retenue vaut 1 lorsque les deux bits sont à 1 : c’est une fonction ET.

S = A ⊕ B    et     R = A · B

4.4.6. Application à la détection de changement

Si l’on compare l’état actuel d’un signal à son état précédent, XOR vaut 1 lorsque les deux valeurs sont différentes. Dans un système synchrone, l’état précédent peut être conservé dans une bascule. Le signal de changement devient D = état_actuel ⊕ état_précédent.

XOR détecte les deux sens de changement. Pour distinguer un front montant d’un front descendant, une logique supplémentaire doit tenir compte de la valeur actuelle et de la valeur précédente.

4.4.7. Application au contrôle de parité

Le XOR de plusieurs bits indique la parité du nombre de bits à 1. Le résultat vaut 0 lorsque ce nombre est pair et 1 lorsqu’il est impair. Pour construire une parité paire, le bit de parité ajouté est choisi de manière que le XOR de tous les bits transmis soit égal à 0.

Figure 6 — Applications typiques des portes XOR et XNOR.

4.5. Méthode d’analyse d’un réseau de portes

4.5.1. Analyse par signaux intermédiaires

Lorsqu’un schéma comporte plusieurs portes, il est préférable de nommer la sortie de chaque porte intermédiaire. On écrit ensuite une équation locale pour chaque signal, depuis les entrées vers la sortie finale. Cette méthode évite les oublis de complément et facilite la construction de la table de vérité.

1. Identifier les entrées primaires et la sortie finale.

2. Nommer chaque nœud intermédiaire : N₁, N₂, N₃, etc.

3. Écrire l’équation de chaque porte dans l’ordre de propagation.

4. Substituer les expressions intermédiaires si une expression globale est demandée.

5. Construire une table comportant aussi les colonnes N₁, N₂, … pour vérifier le calcul.

6. Comparer les résultats à une simulation ou à quelques cas limites du cahier des charges.

4.5.2. Passage entre les représentations

4.5.3. Erreurs fréquentes

4.6. Activité pratique proposée

Étude expérimentale des portes et réalisation d’un mini-système

L’activité peut être conduite avec Logisim Evolution, Proteus, Multisim ou un montage sur plaque d’essai utilisant des circuits logiques, des interrupteurs et des LED. Les résistances de limitation des LED et la mise à un niveau défini de toutes les entrées doivent être respectées.

Synthèse du chapitre

Glossaire essentiel

Exercices d’application

Exercice 1 — Variables et conventions

1. Définir des variables binaires pour un bouton Marche, un capteur de porte fermée et une lampe.

2. Proposer une convention 0/1 claire pour chaque variable.

3. Écrire verbalement la condition selon laquelle la lampe s’allume seulement si le bouton est appuyé et la porte fermée.

Exercice 2 — Construction de tables de vérité

1. Construire la table complète d’une fonction Q(A,B,C) qui vaut 1 lorsque A = 1 et qu’au moins une des entrées B ou C vaut 1.

2. Construire la table d’une sortie R qui vaut 1 lorsqu’aucune des trois entrées n’est active.

3. Vérifier que chaque table contient exactement huit lignes de données.

Exercice 3 — Portes de base

1. Donner l’équation et la table de vérité des fonctions NON, ET et OU.

2. Une alarme doit fonctionner si le capteur F détecte de la fumée ou si le capteur T détecte une température excessive. Écrire la fonction.

3. Un moteur doit fonctionner si M = 1, S = 1 et E = 1. Écrire la fonction pour une porte ET à trois entrées.

4. Un voyant doit s’allumer quand le capteur P ne détecte aucune présence. Écrire la fonction.

Exercice 4 — Évaluation d’expressions

1. Évaluer Q = ¬A·B + C pour (A,B,C) = (1,1,0), puis (0,1,0), puis (1,0,1).

2. Évaluer R = ¬(A+B) pour les quatre combinaisons de A et B.

3. Construire la table de S = (A+B)·¬C.

Exercice 5 — NAND et NOR

1. Construire la table de vérité de NAND et de NOR.

2. Montrer qu’une NAND dont les deux entrées sont reliées réalise NON.

3. Donner les équations intermédiaires permettant de réaliser OU uniquement avec NAND.

4. Donner les équations intermédiaires permettant de réaliser ET uniquement avec NOR.

5. Comparer le nombre de portes nécessaires pour une fonction ET directe et sa réalisation avec NAND.

Exercice 6 — XOR, XNOR et applications

1. Construire les tables de XOR et XNOR et vérifier qu’elles sont complémentaires.

2. Donner la sortie d’un comparateur XNOR pour les paires 00, 01, 10 et 11.

3. Calculer la somme S et la retenue R d’un demi-additionneur pour toutes les entrées.

4. Calculer le XOR de 101101 et en déduire si le nombre de bits à 1 est pair ou impair.

5. Écrire une fonction qui vaut 1 lorsque deux capteurs fournissent des informations différentes.

Exercice 7 — Analyse d’un réseau

On considère N₁ = A·B, N₂ = ¬C et Q = N₁ + N₂.

1. Écrire l’expression globale de Q.

2. Construire une table comprenant A, B, C, N₁, N₂ et Q.

3. Décrire verbalement la condition pour laquelle Q vaut 0.

4. Proposer un exemple d’application correspondant à cette fonction.

Exercice 8 — Problème de synthèse

Un système possède deux boutons de commande A et B, un capteur de sécurité S et deux voyants. Le voyant D doit indiquer que les boutons sont dans des états différents. Le voyant V doit s’allumer lorsque les boutons sont identiques et que la sécurité est validée. Définir les variables, écrire les deux fonctions, construire la table de vérité complète et préciser les portes nécessaires.

Auto-évaluation

Corrigé synthétique

Exercice 1

Exemple de convention : M = 1 si le bouton Marche est appuyé ; P = 1 si la porte est fermée ; L = 1 si la lampe est allumée. La condition demandée est L = M·P.

Exercice 2

Première fonction : Q = A·(B+C). Deuxième fonction : R = ¬(A+B+C), donc R vaut 1 uniquement pour 000.

Exercice 3

Alarme : A = F+T. Commande moteur : Q = M·S·E. Voyant d’absence : V = ¬P. Les tables des portes fondamentales correspondent aux sections 4.2.1 à 4.2.3.

Exercice 4

Pour Q = ¬A·B+C : Q(1,1,0)=0 ; Q(0,1,0)=1 ; Q(1,0,1)=1. R = ¬(A+B) vaut 1 uniquement pour A=B=0.

Exercice 5

NAND : 1, 1, 1, 0 pour 00, 01, 10, 11. NOR : 1, 0, 0, 0. Inverseur NAND : ¬A = A NAND A. OU avec NAND : N₁=A NAND A=¬A ; N₂=B NAND B=¬B ; Q=N₁ NAND N₂=A+B. ET avec NOR : N₁=A NOR A=¬A ; N₂=B NOR B=¬B ; Q=N₁ NOR N₂=A·B. Un ET direct nécessite une porte ; sa construction NAND en nécessite deux.

Exercice 6

XOR : 0,1,1,0 ; XNOR : 1,0,0,1. Le demi-additionneur donne S=A⊕B et R=A·B. Le mot 101101 contient quatre bits à 1 : son XOR global vaut 0 et la parité est paire. La fonction de désaccord de deux capteurs est D=A⊕B.

Exercice 7

Expression globale : Q=A·B+¬C. Q vaut 0 lorsque A·B=0 et C=1, c’est-à-dire lorsque C est actif mais que A et B ne sont pas simultanément actifs.

Exercice 8

D = A⊕B. V = XNOR(A,B)·S. Le voyant D exige une porte XOR. Le voyant V exige une XNOR suivie d’une porte ET avec S.

Réponses de l’auto-évaluation

Faux ; Vrai ; Faux ; Vrai ; Vrai ; Faux ; Vrai ; Vrai ; Faux ; Vrai.