Niveau conseillé : Bac+1 / Bac+2 — Cycle préparatoire, BTS, BUT, Licence

Présentation du chapitre

Un système numérique ne traite pas directement les objets du monde réel : nombres décimaux, caractères, positions mécaniques, symboles ou commandes. Il traite des suites de bits. Le codage établit donc une correspondance précise entre une information et un mot binaire. Cette correspondance doit être connue à la fois par le dispositif qui produit les données et par celui qui les interprète.

Un même motif binaire peut avoir plusieurs significations selon le code choisi. Par exemple, 0101 peut représenter l’entier 5 en binaire naturel, le chiffre décimal 5 en BCD, une position dans un code Gray, un ensemble de quatre indicateurs logiques ou une partie d’un caractère. Les bits seuls ne suffisent donc pas : leur convention d’interprétation est essentielle.

Ce chapitre étudie successivement le code binaire naturel, le code BCD, le code Gray, les codes alphanumériques et les codes simples de détection d’erreur. L’objectif n’est pas seulement de mémoriser des tableaux, mais de comprendre pourquoi chaque code existe, comment le construire, comment le convertir et dans quelles situations il est pertinent.

Objectifs pédagogiques

Figure 1 — Une information doit être codée avant d’être stockée, transmise ou traitée numériquement.

3.0. Notions fondamentales sur le codage

3.0.1. Définition d’un code numérique

Un code numérique est une règle qui associe à chaque symbole ou valeur d’un ensemble source un mot formé de symboles numériques, le plus souvent des bits. Le codage est l’opération qui produit le mot de code ; le décodage est l’opération inverse qui permet de retrouver l’information représentée.

3.0.2. Capacité d’un mot binaire

Avec n bits, on peut construire 2ⁿ combinaisons distinctes. Pour coder M symboles différents avec des mots de longueur fixe, il faut choisir le plus petit entier n tel que 2ⁿ ≥ M. Si 2ⁿ est supérieur à M, certaines combinaisons restent inutilisées ou peuvent être réservées à des fonctions particulières.

Nombre de combinaisons = 2ⁿ     et     n minimal = ⌈log₂(M)⌉

3.0.3. Codes pondérés et non pondérés

Dans un code pondéré, chaque position possède un poids fixe. La valeur représentée est obtenue en additionnant les poids associés aux bits égaux à 1. Le binaire naturel et le BCD 8421 sont des codes pondérés. Dans un code non pondéré, cette règle d’addition ne suffit pas ; il faut utiliser une table ou une méthode de conversion. Le code Gray est un code non pondéré.

3.0.4. Codes complets, incomplets et redondance

Un code est complet lorsque toutes les combinaisons possibles sont associées à une information utile. Il est incomplet lorsque certaines combinaisons ne sont pas utilisées. Cette inutilisation peut être un simple gaspillage de capacité, mais elle peut aussi devenir une ressource : mots réservés, détection d’une valeur invalide ou extension future.

La redondance désigne l’ajout d’informations qui ne sont pas indispensables pour représenter la donnée, mais qui facilitent sa vérification, sa synchronisation ou sa correction. Le bit de parité est un exemple minimal de redondance : un bit supplémentaire est calculé à partir des bits utiles.

3.1. Code binaire naturel

3.1.1. Principe général

Le code binaire naturel associe à chaque entier non signé son écriture en base 2. Les positions possèdent les poids 1, 2, 4, 8, 16, etc. Il s’agit d’un code pondéré de poids 2⁰, 2¹, 2², … en allant du bit de poids faible vers le bit de poids fort.

Valeur = bₙ₋₁·2ⁿ⁻¹ + … + b₂·2² + b₁·2¹ + b₀·2⁰

3.1.2. Codage d’un entier sur une longueur fixe

Dans un circuit, la longueur du mot est fixée. Le nombre binaire est donc complété à gauche par des zéros jusqu’à obtenir la longueur requise. Ces zéros de tête ne changent pas la valeur, mais ils déterminent la taille du registre, du bus ou de la mémoire qui transporte la donnée.

3.1.3. Plage représentable et choix du nombre de bits

Sur n bits non signés, la plus petite valeur est 0 et la plus grande est 2ⁿ − 1. Avant de choisir un format, il faut donc connaître la valeur maximale attendue. Un format insuffisant produit un dépassement de capacité ; un format excessif augmente la consommation de mémoire ou la largeur du matériel.

3.1.4. Succession des mots et comptage

L’ordre naturel des mots binaires suit le comptage en base 2. Lorsque la valeur augmente d’une unité, plusieurs bits peuvent changer simultanément. Par exemple, le passage de 7 à 8 transforme 0111 en 1000 : les quatre bits changent. Cette propriété est sans difficulté dans un calcul synchrone, mais elle peut provoquer des lectures transitoires dans certains capteurs mécaniques ; le code Gray répond précisément à ce problème.

3.1.5. Avantages, limites et applications

3.2. Code BCD

3.2.1. Principe du Binary Coded Decimal

BCD signifie Binary Coded Decimal, c’est-à-dire décimal codé en binaire. Dans le code BCD 8421, chaque chiffre décimal est codé séparément sur quatre bits en utilisant son équivalent binaire de 0 à 9. Les poids des quatre positions sont 8, 4, 2 et 1, d’où l’appellation 8421.

3.2.2. Méthode de codage d’un nombre décimal

1. Séparer le nombre en chiffres décimaux individuels.

2. Remplacer chaque chiffre par son mot BCD sur quatre bits.

3. Conserver l’ordre des chiffres et regrouper visuellement les quartets.

4. Vérifier que chaque groupe appartient à l’intervalle 0000–1001.

3.2.3. Différence entre binaire naturel et BCD

Il ne faut jamais convertir le nombre décimal entier en binaire puis déclarer que le résultat est du BCD. Le binaire naturel code la valeur globale ; le BCD code chaque chiffre décimal. Les deux représentations ne coïncident que pour les valeurs de 0 à 9.

Figure 2 — Comparaison du binaire naturel et du BCD pour une même valeur décimale.

3.2.4. Efficacité et nombre de bits nécessaires

Le BCD est moins compact que le binaire naturel, car quatre bits peuvent représenter 16 combinaisons mais seulement 10 sont utilisées. Pour un nombre décimal de d chiffres, le BCD exige exactement 4d bits. Le binaire naturel exige environ d·log₂(10), soit 3,322d bits. L’écart devient important lorsque les nombres sont longs.

3.2.5. BCD compacté et BCD non compacté

Dans un stockage compacté, deux chiffres BCD occupent un octet : un chiffre dans le quartet de poids fort et un chiffre dans le quartet de poids faible. Dans un stockage non compacté, chaque chiffre occupe généralement un octet complet ; le quartet supérieur peut être nul ou réservé à une indication de signe.

3.2.6. Addition BCD et correction par 6

L’addition de deux chiffres BCD commence par une addition binaire sur quatre bits. Le résultat est directement valide s’il est compris entre 0000 et 1001 et s’il n’y a pas de retenue. S’il est supérieur à 1001 ou s’il produit une retenue, on ajoute 0110₂, c’est-à-dire 6, pour obtenir le chiffre BCD correct et transmettre une retenue décimale au quartet suivant.

1. Additionner les deux quartets BCD et la retenue éventuelle.

2. Tester si le résultat dépasse 1001₂ ou si une retenue de sortie est présente.

3. Si nécessaire, ajouter 0110₂.

4. Conserver les quatre bits faibles comme chiffre BCD et reporter la retenue décimale.

3.2.7. Affichage décimal et afficheur sept segments

Le BCD est particulièrement adapté aux systèmes qui doivent afficher des valeurs décimales. Un décodeur BCD-vers-sept-segments reçoit un quartet BCD et commande les segments a à g nécessaires à l’affichage du chiffre correspondant. Cette architecture évite de reconvertir en permanence une valeur destinée à l’utilisateur.

3.2.8. Avantages, limites et applications

3.3. Code Gray

3.3.1. Principe du changement d’un seul bit

Le code Gray, également appelé code binaire réfléchi, est construit de manière que deux valeurs successives ne diffèrent que par un seul bit. Cette propriété réduit le risque d’obtenir une valeur transitoire très éloignée de la valeur réelle lorsqu’un capteur ou un contact mécanique change d’état.

Figure 3 — Dans une séquence Gray cyclique, chaque mot est adjacent au précédent et au suivant.

3.3.2. Construction par réflexion

Le code Gray réfléchi peut être construit récursivement. On part du code sur un bit : 0, 1. Pour passer à n+1 bits, on recopie la liste dans l’ordre puis dans l’ordre inverse. On préfixe la première moitié par 0 et la seconde moitié par 1.

3.3.3. Tableau binaire–Gray sur quatre bits

3.3.4. Conversion du binaire vers le Gray

La conversion peut être réalisée bit par bit avec l’opération XOR. Le bit de poids fort du Gray est identique au bit de poids fort du binaire. Chaque autre bit Gray est le XOR de deux bits binaires adjacents.

gₙ₋₁ = bₙ₋₁    et     gᵢ = bᵢ₊₁ ⊕ bᵢ

1. Recopier le bit binaire de poids fort.

2. Calculer le XOR entre chaque bit binaire et son voisin immédiatement à gauche.

3. Écrire les résultats dans le même ordre pour former le mot Gray.

3.3.5. Conversion du Gray vers le binaire

La conversion inverse est cumulative. Le bit binaire de poids fort est recopié. Chaque bit binaire suivant est le XOR du bit binaire déjà retrouvé à gauche avec le bit Gray courant.

bₙ₋₁ = gₙ₋₁    et     bᵢ = bᵢ₊₁ ⊕ gᵢ

1. Recopier le bit Gray de poids fort comme premier bit binaire.

2. Calculer le XOR entre le bit binaire précédent et le bit Gray courant.

3. Poursuivre jusqu’au bit de poids faible.

3.3.6. Exemple d’un codeur de position absolue

Un codeur rotatif absolu comporte plusieurs pistes concentriques et des capteurs. Chaque piste fournit un bit. En binaire naturel, une frontière entre deux positions peut nécessiter la commutation de plusieurs pistes. Une légère différence mécanique ou électrique peut alors créer un mot temporaire incorrect. En code Gray, une seule piste change à chaque frontière ; l’erreur transitoire est fortement limitée.

3.3.7. Code cyclique, distance et limites

Le code Gray réfléchi est cyclique : le dernier mot et le premier mot ne diffèrent eux aussi que par un bit. La distance de Hamming entre deux mots successifs est donc égale à 1. Cette propriété ne signifie toutefois pas que le Gray détecte ou corrige les erreurs ; elle concerne uniquement l’ordre des transitions prévues.

3.3.8. Applications

• codeurs rotatifs et linéaires de position ;
• capteurs mécaniques ou optiques ;
• adressage asynchrone dans certaines mémoires FIFO ;
• convertisseurs analogique-numérique de type flash ;
• organisation des cartes de Karnaugh afin que les cases adjacentes ne diffèrent que d’une variable.

3.4. Codes alphanumériques

3.4.1. Pourquoi coder les caractères ?

Un ordinateur ne stocke pas directement une lettre, un signe de ponctuation ou un symbole mathématique. Chaque caractère est associé à un nombre appelé valeur de code ou point de code. Ce nombre est ensuite représenté par des octets selon une convention d’encodage. Pour échanger correctement du texte, l’émetteur et le récepteur doivent utiliser la même convention.

3.4.2. Code ASCII

ASCII signifie American Standard Code for Information Interchange. Le code ASCII d’origine utilise 7 bits et définit 128 valeurs, de 0 à 127. Il comprend des caractères de contrôle, les chiffres, les lettres latines non accentuées, la ponctuation et plusieurs symboles.

3.4.3. Valeurs ASCII courantes et propriétés utiles

Les chiffres ASCII sont consécutifs : pour convertir un caractère '0' à '9' en valeur numérique, on peut soustraire le code de '0'. Les lettres majuscules et minuscules forment également deux plages consécutives. En ASCII, l’écart entre une lettre majuscule et la minuscule correspondante est 32 en décimal.

3.4.4. ASCII étendu : une appellation ambiguë

L’expression ASCII étendu désigne différentes tables sur 8 bits qui réutilisent les valeurs ASCII 0 à 127 et affectent les valeurs 128 à 255 à d’autres caractères. Il n’existe pas une seule table universelle : plusieurs pages de codes ont coexisté. Un octet supérieur à 127 peut donc représenter des caractères différents selon la page de codes.

3.4.5. Principe d’Unicode

Unicode attribue un point de code unique à un très grand nombre de caractères issus de nombreux systèmes d’écriture, ainsi qu’à des symboles techniques et pictographiques. Un point de code est généralement écrit sous la forme U+ suivi d’une valeur hexadécimale, par exemple U+0041 pour la lettre A.

Unicode ne doit pas être confondu avec un encodage unique. Les points de code peuvent être représentés par différents formats, notamment UTF-8, UTF-16 et UTF-32. Le choix de l’encodage détermine le nombre d’octets et leur organisation.

3.4.6. UTF-8, UTF-16 et UTF-32

3.4.7. Erreurs d’encodage courantes

• interpréter des octets UTF-8 avec une page de codes ancienne ;
• couper une séquence multi-octets au milieu d’un caractère ;
• confondre nombre de caractères, nombre de points de code et nombre d’octets ;
• supposer qu’un caractère affiché correspond toujours à un seul octet ;
• utiliser une police qui ne contient pas le glyphe correspondant au point de code.

3.4.8. Choix d’un code de caractères

Pour un nouveau système, UTF-8 constitue généralement un choix adapté pour les échanges et le stockage de texte multilingue. ASCII reste utile pour comprendre les protocoles simples, les commandes, les chiffres et la compatibilité historique. Dans tous les cas, l’encodage doit être déclaré, conservé et interprété de manière cohérente sur l’ensemble de la chaîne.

3.5. Codes de détection d’erreur

3.5.1. Pourquoi ajouter de la redondance ?

Une donnée peut être altérée pendant une transmission ou un stockage à cause du bruit électrique, d’une perturbation électromagnétique, d’un défaut de liaison ou d’une défaillance matérielle. Un système fiable ajoute souvent des bits de contrôle calculés à partir des données. Le récepteur recalcule le contrôle et compare le résultat attendu au résultat reçu.

Un code détecteur d’erreur ne garantit pas que toutes les erreurs seront repérées. Son efficacité dépend de la quantité de redondance, de la règle de calcul et du type d’erreurs que l’on souhaite détecter. Le bit de parité est la méthode la plus simple.

3.5.2. Bit de parité paire

En parité paire, le bit de parité est choisi de manière que le nombre total de bits égaux à 1, données et parité comprises, soit pair. Si les données contiennent déjà un nombre pair de 1, le bit de parité vaut 0. Si elles contiennent un nombre impair de 1, il vaut 1.

pₚₐᵢᵣₑ = d₀ ⊕ d₁ ⊕ … ⊕ dₙ₋₁

Figure 4 — Génération et contrôle d’un bit de parité paire avec des opérations XOR.

3.5.3. Bit de parité impaire

En parité impaire, le nombre total de bits à 1 doit être impair. Le bit de parité impaire est donc l’inverse du bit de parité paire calculé sur les mêmes données.

pᵢₘₚₐᵢᵣₑ = ¬(d₀ ⊕ d₁ ⊕ … ⊕ dₙ₋₁)

3.5.4. Contrôle à la réception

Le récepteur calcule le XOR de tous les bits reçus, y compris le bit de parité. Avec une parité paire, un résultat égal à 0 indique que le nombre de 1 est pair et que le mot est cohérent avec la règle. Un résultat égal à 1 indique une incohérence et donc une erreur détectée.

1. Recevoir les bits de données et le bit de parité.

2. Calculer le XOR de l’ensemble du mot.

3. Comparer le résultat à la convention attendue.

4. Signaler l’erreur ou rejeter la donnée en cas d’incohérence.

3.5.5. Ce que la parité détecte et ne détecte pas

Une erreur sur un seul bit change nécessairement la parité : elle est toujours détectée. Plus généralement, toute modification d’un nombre impair de bits change la parité. En revanche, une modification d’un nombre pair de bits conserve la parité et peut rester indétectée.

3.5.6. Parité longitudinale et parité bidimensionnelle

Lorsque plusieurs mots sont organisés en tableau, on peut calculer une parité pour chaque ligne et une parité pour chaque colonne. Cette parité bidimensionnelle augmente la redondance et peut localiser une erreur simple à l’intersection d’une ligne et d’une colonne incorrectes. Elle reste toutefois limitée face à certaines configurations d’erreurs multiples.

3.5.7. Ouverture vers des codes plus puissants

Pour des liaisons ou stockages exigeants, on utilise des mécanismes plus robustes : somme de contrôle, contrôle de redondance cyclique, codes de Hamming ou autres codes correcteurs. Ils ajoutent davantage de redondance et peuvent détecter des motifs d’erreur plus complexes, voire corriger certaines erreurs. Leur étude détaillée dépasse le cadre de ce chapitre, mais le principe général reste identique : calculer des informations de contrôle à partir des données.

3.6. Choisir un code selon l’application

Le meilleur code n’est pas celui qui possède le plus de propriétés, mais celui qui répond correctement au besoin tout en conservant une complexité acceptable. Avant de choisir, il faut identifier la nature de l’information, les opérations prévues, la contrainte de transition, le besoin d’affichage et le niveau de fiabilité attendu.

3.7. Méthode générale de résolution

1. Identifier le code demandé et ne pas interpréter les bits avant d’avoir fixé la convention.

2. Déterminer la longueur des mots et la manière de les regrouper.

3. Appliquer la méthode propre au code : poids, groupes BCD, XOR Gray, table ASCII ou règle de parité.

4. Vérifier la validité de chaque groupe et repérer les mots interdits.

5. Effectuer une conversion inverse ou un contrôle indépendant.

6. Conclure en indiquant clairement la valeur, le code et la longueur utilisée.

3.8. Activité pratique proposée

Station de codage, conversion et contrôle

L’activité peut être réalisée avec un simulateur logique, un tableur ou un petit montage comprenant des interrupteurs, des portes XOR, des LED et éventuellement un afficheur sept segments. Les étudiants travaillent par groupes et documentent chaque étape.

Synthèse du chapitre

Glossaire essentiel

Exercices d’application

Exercice 1 — Capacité et longueur des mots

1. Déterminer le nombre minimal de bits pour coder 6, 10, 30, 100 et 1 000 symboles.

2. Indiquer le nombre de combinaisons inutilisées dans chaque cas.

3. Donner la plage d’un mot binaire naturel non signé sur 5, 8 et 12 bits.

Exercice 2 — Code binaire naturel

1. Coder 13, 47, 128 et 250 sur 8 bits.

2. Décoder 00110110, 10000001 et 11111100 en décimal.

3. Expliquer pourquoi 300 ne peut pas être codé sur 8 bits non signés.

Exercice 3 — Codage et décodage BCD

1. Coder en BCD les nombres 29, 304, 1975 et 9008.

2. Décoder 0100 0111, 0010 0000 1001 et 1001 1001 0101.

3. Repérer les mots BCD invalides : 0101 1010, 0011 1001, 1110 0001 et 1000 0110.

4. Comparer le nombre de bits requis pour 255 en binaire naturel et en BCD.

Exercice 4 — Addition BCD

1. Effectuer en BCD : 4 + 5 ; 6 + 8 ; 9 + 9.

2. Effectuer en BCD : 27 + 36 et 58 + 27.

3. Indiquer à chaque fois les quartets qui nécessitent une correction par 0110.

Exercice 5 — Conversion binaire–Gray

1. Convertir en Gray : 0000, 0011, 0111, 1010 et 1111.

2. Convertir en binaire naturel : 0000, 0010, 0110, 1111 et 1000.

3. Vérifier que deux mots Gray successifs de la séquence 0 à 15 ne diffèrent que par un bit.

Exercice 6 — ASCII et représentation des caractères

1. À partir des valeurs ASCII usuelles, coder le mot « INFO » en décimal et en hexadécimal.

2. Décoder la suite hexadécimale 42 41 43.

3. Expliquer la différence entre le caractère « 7 » et la valeur numérique 7.

4. Expliquer pourquoi une table ASCII sur 7 bits ne suffit pas à représenter un texte multilingue.

Exercice 7 — Parité

1. Calculer les bits de parité paire et impaire pour 1010101, 1110000 et 0000000.

2. Avec une parité paire, vérifier les mots reçus 10110110, 11001010 et 11111111.

3. Donner un exemple de deux erreurs de bits qui ne seraient pas détectées par une parité simple.

4. Expliquer pourquoi le bit de parité ne permet pas de corriger une erreur.

Exercice 8 — Problème de synthèse

Un instrument mesure une position de 0 à 255, affiche la valeur en décimal sur trois chiffres et transmet périodiquement le résultat avec un contrôle simple. Proposer les codes à utiliser pour la mesure interne, le capteur de position, l’affichage et la transmission. Justifier chaque choix et donner les représentations correspondant à la valeur 157.

Auto-évaluation

Corrigé synthétique

Exercice 1

Plages : 5 bits → 0 à 31 ; 8 bits → 0 à 255 ; 12 bits → 0 à 4 095.

Exercice 2

13 → 00001101 ; 47 → 00101111 ; 128 → 10000000 ; 250 → 11111010.

00110110 → 54 ; 10000001 → 129 ; 11111100 → 252. La valeur maximale sur 8 bits non signés est 255 ; 300 exige au moins 9 bits.

Exercice 3

29 → 0010 1001 ; 304 → 0011 0000 0100 ; 1975 → 0001 1001 0111 0101 ; 9008 → 1001 0000 0000 1000.

0100 0111 → 47 ; 0010 0000 1001 → 209 ; 1001 1001 0101 → 995.

Invalides : 0101 1010 contient 1010 ; 1110 0001 contient 1110. Les deux autres sont valides. Pour 255 : 8 bits en binaire naturel, 12 bits en BCD.

Exercice 4

4 + 5 = 9 : 0100 + 0101 = 1001, sans correction. 6 + 8 = 14 : 0110 + 1000 = 1110, puis +0110 → 1 0100, soit 0001 0100. 9 + 9 = 18 : 1001 + 1001 = 1 0010, puis correction du quartet faible → 0001 1000.

27 + 36 = 63 : unités 7+6=13, correction ; dizaines 2+3+1=6. 58 + 27 = 85 : unités 8+7=15, correction ; dizaines 5+2+1=8.

Exercice 5

Binaire → Gray : 0000→0000 ; 0011→0010 ; 0111→0100 ; 1010→1111 ; 1111→1000.

Gray → binaire : 0000→0000 ; 0010→0011 ; 0110→0100 ; 1111→1010 ; 1000→1111.

Exercice 6

INFO : I=73=49₁₆ ; N=78=4E₁₆ ; F=70=46₁₆ ; O=79=4F₁₆. Suite : 49 4E 46 4F en hexadécimal.

42 41 43₁₆ correspond à B A C. Le caractère « 7 » possède le code ASCII 55 décimal, tandis que la valeur numérique 7 est un nombre utilisé dans les calculs. ASCII 7 bits ne contient que 128 valeurs et ne couvre pas les nombreux alphabets et symboles nécessaires à un texte multilingue.

Exercice 7

1010101 contient quatre 1 : parité paire 0, impaire 1. 1110000 contient trois 1 : paire 1, impaire 0. 0000000 contient zéro 1 : paire 0, impaire 1.

Pour vérifier un mot complet en parité paire, le nombre total de 1 doit être pair. Deux inversions peuvent conserver la parité, par exemple 0000→0011. Le contrôle signale seulement une incohérence globale et ne fournit pas la position du bit erroné.

Exercice 8

Mesure interne : binaire naturel sur 8 bits, car la plage est 0–255. Capteur de position : Gray sur 8 bits si le capteur est absolu et soumis à des transitions mécaniques. Affichage : BCD sur trois chiffres, associé à des décodeurs sept segments. Transmission simple : données binaires accompagnées d’un bit de parité, en précisant que ce contrôle reste limité.

Pour 157 : binaire naturel 10011101 ; BCD 0001 0101 0111 ; Gray obtenu par b ⊕ (b>>1) : 11010011. Le bit de parité paire du mot binaire 10011101 vaut 1, car les données contiennent cinq bits à 1.

Réponses de l’auto-évaluation

Faux ; Faux ; Vrai ; Vrai ; Faux ; Vrai ; Faux ; Vrai.