Niveau conseillé : Bac+1 / Bac+2 — Cycle préparatoire, BTS, BUT, Licence

Présentation du chapitre

Les circuits numériques ne manipulent pas directement les nombres sous leur écriture décimale habituelle. Ils représentent l’information à l’aide de deux états physiques, généralement notés 0 et 1. Le système binaire est donc le langage naturel des composants numériques, tandis que les systèmes octal et hexadécimal servent d’écritures compactes et lisibles pour l’être humain.

Ce chapitre introduit la notion de base de numération, la valeur positionnelle des chiffres, les méthodes de conversion entre les bases 2, 8, 10 et 16, ainsi que les opérations arithmétiques binaires. Il présente enfin les principales méthodes de représentation des nombres signés, en particulier le complément à 2, largement utilisé dans les processeurs et les microcontrôleurs.

Objectifs pédagogiques

2.1. Notion de base de numération

2.1.1. Pourquoi plusieurs systèmes de numération ?

Un système de numération est un ensemble de règles permettant de représenter des quantités à l’aide de symboles appelés chiffres. Le système décimal est adapté aux habitudes humaines, mais il n’est pas le plus simple à réaliser électroniquement. Un circuit numérique distingue plus facilement deux plages de tension que dix niveaux différents ; il utilise donc naturellement la base 2.

Les bases 8 et 16 sont particulièrement utiles parce qu’elles sont directement liées à la base 2. Un chiffre octal résume exactement trois bits, tandis qu’un chiffre hexadécimal résume quatre bits. Elles facilitent ainsi la lecture des longues suites binaires, des adresses mémoire, des masques, des instructions machine et des valeurs de configuration.

2.1.2. Définition d’une base

La base, notée b, indique le nombre de chiffres distincts disponibles dans le système. Les chiffres autorisés vont de 0 à b − 1. Une écriture n’est valide que si chacun de ses chiffres appartient à cet ensemble.

2.1.3. Principe de la valeur positionnelle

Dans un système positionnel, la valeur d’un chiffre dépend à la fois de sa valeur propre et de sa position. Les positions situées à gauche de la virgule utilisent les puissances positives ou nulles de la base. Celles situées à droite utilisent les puissances négatives.

N = … + a₂b² + a₁b¹ + a₀b⁰ + a₋₁b⁻¹ + a₋₂b⁻² + …

Chaque coefficient aᵢ est un chiffre compris entre 0 et b − 1. Le chiffre le plus à droite de la partie entière possède le poids b⁰ = 1. En se déplaçant d’une position vers la gauche, le poids est multiplié par b ; en se déplaçant vers la droite de la virgule, il est divisé par b.

Figure 1 — Poids associés aux positions d’un nombre écrit dans une base quelconque.

2.1.4. Système décimal

Le système décimal, de base 10, utilise les chiffres 0 à 9. Il est le système usuel de calcul et de mesure. Chaque position représente une puissance de 10 : unités, dizaines, centaines, milliers pour la partie entière ; dixièmes, centièmes et millièmes pour la partie fractionnaire.

Dans un document technique, préciser la base 10 reste utile lorsqu’un même tableau contient des valeurs binaires, octales ou hexadécimales. Par exemple, 10₂ vaut 2₁₀, tandis que 10₁₆ vaut 16₁₀.

2.1.5. Système binaire

Le système binaire, de base 2, utilise uniquement les chiffres 0 et 1. Un chiffre binaire est appelé bit. La position d’un bit détermine son poids : …, 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰ pour la partie entière.

• Bit de poids faible, ou LSB : bit situé le plus à droite de la partie entière.
• Bit de poids fort, ou MSB : bit situé le plus à gauche du mot binaire.
• Quartet ou nibble : groupe de 4 bits.
• Octet ou byte : groupe de 8 bits.
• Mot : groupe de bits traité comme une unité par un système, par exemple 16, 32 ou 64 bits.

2.1.6. Système octal

Le système octal, de base 8, utilise les chiffres 0 à 7. Ses poids sont les puissances de 8. Historiquement fréquent dans les systèmes informatiques, il reste utile pour certaines notations, notamment les permissions de fichiers sous Unix et Linux.

2.1.7. Système hexadécimal

Le système hexadécimal, de base 16, utilise seize chiffres. Les valeurs de 10 à 15 sont représentées par les lettres A, B, C, D, E et F. La casse n’a normalement pas d’importance : AF₁₆ et af₁₆ désignent la même valeur.

2.2. Conversion entre bases

Une conversion change l’écriture d’un nombre sans modifier sa valeur. La méthode dépend de la base de départ, de la base d’arrivée et de la présence éventuelle d’une partie fractionnaire. Il est préférable d’identifier la situation avant de commencer les calculs.

Figure 2 — Méthodes privilégiées pour convertir entre les bases usuelles.

2.2.1. Conversion d’une base quelconque vers le décimal

La conversion vers le décimal utilise directement la valeur positionnelle. Chaque chiffre est multiplié par la puissance de la base correspondant à sa position, puis les produits sont additionnés.

1. Écrire les poids des positions en commençant par b⁰ à droite de la partie entière.
2. Multiplier chaque chiffre par son poids.
3. Additionner les contributions, y compris celles de la partie fractionnaire.

2.2.2. Conversion d’un entier décimal vers une autre base

Pour convertir un entier décimal vers la base b, on effectue des divisions entières successives par b. Chaque division produit un quotient et un reste. Les restes constituent les chiffres du résultat, mais ils doivent être lus du dernier au premier.

1. Diviser le nombre décimal par la base d’arrivée.
2. Noter le reste, compris entre 0 et b − 1.
3. Diviser de nouveau le quotient obtenu par la base.
4. Continuer jusqu’à obtenir un quotient nul.
5. Lire les restes de bas en haut.

2.2.3. Conversion d’une fraction décimale vers une autre base

La partie fractionnaire se convertit par multiplications successives par la base d’arrivée. À chaque étape, la partie entière obtenue devient le chiffre suivant après la virgule. Les chiffres sont lus dans l’ordre de calcul.

1. Multiplier la fraction par la base d’arrivée.
2. Noter la partie entière du résultat.
3. Reprendre uniquement la nouvelle partie fractionnaire.
4. Continuer jusqu’à obtenir une fraction nulle ou la précision désirée.

2.2.4. Conversion d’un nombre décimal complet

Pour un nombre comportant une partie entière et une partie fractionnaire, les deux parties sont converties séparément. La partie entière utilise les divisions successives ; la partie fractionnaire utilise les multiplications successives. Les deux résultats sont ensuite réunis autour de la virgule.

2.2.5. Conversion directe entre binaire et octal

Comme 8 = 2³, chaque chiffre octal correspond exactement à trois bits. La conversion ne nécessite aucun calcul arithmétique : il suffit de regrouper les bits par paquets de trois en partant de la virgule vers l’extérieur.

• Pour la partie entière, former les groupes de droite vers la gauche.
• Pour la partie fractionnaire, former les groupes de gauche vers la droite.
• Compléter éventuellement le groupe extrême avec des zéros sans modifier la valeur.

2.2.6. Conversion directe entre binaire et hexadécimal

Comme 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal représente exactement quatre bits. La méthode est identique à celle de l’octal, mais les groupes contiennent quatre bits.

Figure 3 — Regrouper les bits à partir de la virgule pour obtenir l’écriture octale ou hexadécimale.

2.2.7. Conversion entre octal et hexadécimal

Il n’existe pas de regroupement direct simple entre octal et hexadécimal. La méthode la plus sûre consiste à utiliser le binaire comme base intermédiaire : chaque chiffre octal est remplacé par 3 bits, puis la suite obtenue est regroupée par 4 bits pour produire l’hexadécimal, ou inversement.

2.2.8. Tableau de choix de méthode

2.3. Opérations arithmétiques binaires

Les opérations binaires suivent les mêmes principes que les opérations décimales, mais tous les calculs sont réalisés avec les deux chiffres 0 et 1. Une retenue ou un emprunt apparaît dès que le résultat dépasse ce qu’un seul bit peut représenter.

2.3.1. Addition binaire

L’addition s’effectue colonne par colonne de droite à gauche. La retenue produite dans une colonne est ajoutée à la colonne suivante.

2.3.2. Soustraction binaire

Lorsqu’on doit calculer 0 − 1, on emprunte une unité à la colonne de poids supérieur. En base 2, cette unité vaut 10₂ dans la colonne courante ; on obtient donc 10₂ − 1₂ = 1₂.

2.3.3. Multiplication binaire

La multiplication binaire est simple parce que les produits élémentaires sont 0 × 0 = 0, 0 × 1 = 0 et 1 × 1 = 1. Chaque ligne partielle est décalée d’une position vers la gauche, puis les lignes sont additionnées.

Un décalage d’un bit vers la gauche multiplie un nombre non signé par 2, à condition qu’aucun bit significatif ne soit perdu. Un décalage de k positions correspond à une multiplication par 2ᵏ.

2.3.4. Division binaire et décalages

La division binaire peut être réalisée par une méthode analogue à la division posée décimale. Dans les cas où le diviseur est une puissance de 2, un simple décalage vers la droite suffit pour un nombre non signé.

2.3.5. Capacité limitée et dépassement non signé

Un circuit manipule des mots de longueur fixe. Sur n bits non signés, la valeur maximale est 2ⁿ − 1. Si une opération produit une valeur supérieure, le résultat complet exige un bit supplémentaire. Lorsque ce bit n’est pas conservé, le résultat est calculé modulo 2ⁿ.

2.4. Représentation des nombres signés

Pour représenter des nombres positifs et négatifs, il faut définir une convention d’interprétation des bits. Le même motif binaire peut donc représenter des valeurs différentes selon que le mot est considéré comme non signé, en signe-valeur absolue, en complément à 1 ou en complément à 2.

2.4.1. Bit de signe et principe général

Dans les représentations signées usuelles, le bit de poids fort joue un rôle particulier. Une valeur 0 indique généralement un nombre positif ou nul, tandis qu’une valeur 1 indique un nombre négatif. Les autres bits et la méthode de décodage dépendent de la convention utilisée.

2.4.2. Représentation signe-valeur absolue

Le bit de poids fort indique le signe et les n − 1 autres bits représentent la valeur absolue. Cette méthode est intuitive, mais elle possède deux écritures du zéro et complique les opérations arithmétiques.

Plage sur n bits : −(2ⁿ⁻¹ − 1) à +(2ⁿ⁻¹ − 1)

2.4.3. Complément à 1

En complément à 1, un nombre positif est codé comme en binaire naturel avec un bit de signe nul. Pour obtenir l’opposé, tous les bits sont inversés : chaque 0 devient 1 et chaque 1 devient 0.

Comme la représentation signe-valeur absolue, le complément à 1 possède deux zéros : 00000000₂ pour +0 et 11111111₂ pour −0. Cette propriété limite son usage dans les architectures modernes.

Plage sur n bits : −(2ⁿ⁻¹ − 1) à +(2ⁿ⁻¹ − 1)

2.4.4. Complément à 2

Le complément à 2 est la représentation signée la plus utilisée. Un nombre positif est codé comme en binaire naturel. Pour obtenir l’opposé d’un nombre, on inverse tous ses bits puis on ajoute 1 au résultat.

1. Écrire la valeur positive sur le nombre de bits imposé.
2. Inverser tous les bits.
3. Ajouter 1 au mot inversé, en ignorant une éventuelle retenue au-delà de la largeur.

Plage sur n bits : −2ⁿ⁻¹ à +(2ⁿ⁻¹ − 1)

2.4.5. Décodage d’un mot en complément à 2

Si le bit de signe vaut 0, le mot est positif et se convertit comme un nombre binaire ordinaire. Si le bit de signe vaut 1, deux méthodes équivalentes sont possibles.

2.4.6. Addition en complément à 2

Les mots en complément à 2 s’additionnent comme des nombres binaires ordinaires. La retenue finale au-delà de la largeur est ignorée. La validité du résultat dépend toutefois de l’absence de débordement signé.

2.4.7. Soustraction en complément à 2

La soustraction A − B est remplacée par l’addition A + (−B). On forme donc le complément à 2 de B, puis on l’ajoute à A. Cette propriété simplifie fortement la réalisation matérielle des unités arithmétiques.

2.4.8. Débordement signé

Le débordement signé, ou overflow, se produit lorsque le résultat mathématique sort de la plage représentable. Il ne doit pas être confondu avec la retenue finale. En complément à 2, un débordement apparaît lors de l’addition de deux nombres de même signe lorsque le résultat obtenu possède le signe opposé.

2.4.9. Comparaison des représentations signées

2.5. Méthode générale de résolution

La plupart des erreurs viennent d’une base non identifiée, d’une largeur de mot oubliée ou d’une confusion entre valeur signée et non signée. La démarche suivante permet de sécuriser les calculs.

1. Identifier la base de chaque donnée et vérifier la validité des chiffres.
2. Préciser la largeur en bits lorsqu’elle influence la plage ou le résultat.
3. Déterminer si les nombres sont signés ou non signés.
4. Choisir la méthode de conversion ou d’opération adaptée.
5. Conserver les zéros utiles pendant les regroupements et les calculs.
6. Vérifier le résultat dans une seconde base, généralement la base 10.
7. Contrôler la plage représentable et rechercher un éventuel débordement.

2.6. Activité pratique proposée

Calculatrice multibase et validation sur simulateur

Cette activité peut être réalisée avec une calculatrice scientifique, un simulateur logique ou un court programme. L’objectif est de comparer la méthode manuelle avec les résultats fournis par l’outil, sans remplacer le raisonnement par la calculatrice.

Synthèse du chapitre

• Une base b utilise b chiffres, de 0 à b − 1.
• La valeur d’un chiffre dépend de sa position et du poids bⁱ associé.
• Le binaire utilise deux chiffres ; l’octal et l’hexadécimal condensent respectivement des groupes de 3 et 4 bits.
• La conversion vers le décimal utilise la somme pondérée des chiffres.
• Un entier décimal se convertit par divisions successives ; une fraction décimale par multiplications successives.
• Les opérations binaires suivent les mêmes principes que les opérations décimales, avec retenues et emprunts en base 2.
• Sur n bits non signés, la plage est 0 à 2ⁿ − 1.
• Le complément à 2 représente les entiers signés de −2ⁿ⁻¹ à +(2ⁿ⁻¹ − 1).
• En complément à 2, l’opposé s’obtient en inversant tous les bits puis en ajoutant 1.
• Le débordement signé apparaît quand deux opérandes de même signe produisent un résultat de signe opposé.

Glossaire essentiel

Exercices d’application

Exercice 1 — Bases et validité des écritures

1. Indiquer si chacune des écritures suivantes est valide : 101102₂ ; 753₈ ; 19A₁₆ ; 128₈ ; 207₁₀ ; F2G₁₆.

2. Donner la valeur des poids des six positions d’un entier binaire sur 6 bits.

3. Combien de valeurs distinctes peut-on coder sur 5, 10 et 12 bits ?

Exercice 2 — Conversion vers le décimal

Convertir en décimal : 1011011₂ ; 1101,011₂ ; 735₈ ; 24,6₈ ; 2AF₁₆ ; B3,C₁₆.

Exercice 3 — Conversion depuis le décimal

1. Convertir 156₁₀ en binaire, octal et hexadécimal.

2. Convertir 1000₁₀ en binaire et en hexadécimal.

3. Convertir 13,625₁₀ en binaire.

4. Donner une approximation binaire de 0,2₁₀ sur 8 chiffres après la virgule.

Exercice 4 — Conversions rapides

1. Convertir 101110011101₂ en octal et en hexadécimal.

2. Convertir 7A5₁₆ en binaire puis en octal.

3. Convertir 643₈ en binaire puis en hexadécimal.

Exercice 5 — Arithmétique binaire

Effectuer les opérations et vérifier en décimal :

a) 101101₂ + 11101₂     b) 110010₂ − 10111₂

c) 1011₂ × 101₂          d) 111100₂ ÷ 100₂

e) Sur 8 bits non signés : 11100110₂ + 00111101₂. Indiquer la retenue et le résultat conservé.

Exercice 6 — Nombres signés sur 8 bits

1. Coder +45 et −45 en signe-valeur absolue, complément à 1 et complément à 2.

2. Décoder les mots suivants en complément à 2 : 01110110₂ ; 11110110₂ ; 10000000₂ ; 11111111₂.

3. Donner la plage des nombres signés représentables sur 6 bits en complément à 2.

Exercice 7 — Addition signée et overflow

Effectuer sur 8 bits en complément à 2 et indiquer s’il y a overflow :

a) 50 + 60     b) 90 + 50     c) −70 + 25     d) −90 − 50     e) −80 + (−20)

Exercice 8 — Problème de synthèse

Un capteur fournit un entier non signé sur 10 bits. La valeur brute vaut 2D7₁₆. Déterminer sa valeur décimale, vérifier qu’elle appartient à la plage du capteur et écrire le mot sur exactement 10 bits. Le système doit ensuite calculer la correction valeur − 600 en complément à 2 sur 12 bits. Donner le résultat binaire signé.

Auto-évaluation

Réponses : 1 Faux ; 2 Vrai ; 3 Faux ; 4 Vrai ; 5 Vrai ; 6 Vrai ; 7 Vrai ; 8 Faux.

Corrigé synthétique

Exercice 1

1. Invalides : 101102₂ contient 2 ; 128₈ contient 8 ; F2G₁₆ contient G. Valides : 753₈, 19A₁₆ et 207₁₀.

2. Poids sur 6 bits : 2⁵, 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰, soit 32, 16, 8, 4, 2, 1.

3. 5 bits : 32 valeurs ; 10 bits : 1024 valeurs ; 12 bits : 4096 valeurs.

Exercice 2

1011011₂ = 91₁₀ ; 1101,011₂ = 13,375₁₀ ; 735₈ = 477₁₀ ; 24,6₈ = 20,75₁₀ ; 2AF₁₆ = 687₁₀ ; B3,C₁₆ = 179,75₁₀.

Exercice 3

1. 156₁₀ = 10011100₂ = 234₈ = 9C₁₆.

2. 1000₁₀ = 1111101000₂ = 3E8₁₆.

3. 13,625₁₀ = 1101,101₂.

4. 0,2₁₀ ≈ 0,00110011₂ sur 8 chiffres après la virgule ; la représentation exacte est périodique.

Exercice 4

1. 101110011101₂ = 5635₈ = B9D₁₆.

2. 7A5₁₆ = 011110100101₂ = 3645₈.

3. 643₈ = 110100011₂ = 1A3₁₆.

Exercice 5

a) 101101₂ + 11101₂ = 1001010₂, soit 45 + 29 = 74.

b) 110010₂ − 10111₂ = 011011₂, soit 50 − 23 = 27.

c) 1011₂ × 101₂ = 110111₂, soit 11 × 5 = 55.

d) 111100₂ ÷ 100₂ = 1111₂, soit 60 ÷ 4 = 15.

e) 11100110₂ + 00111101₂ = 1 00100011₂. Retenue 1 ; résultat conservé sur 8 bits : 00100011₂ = 35. La somme mathématique non signée vaut 291.

Exercice 6

1. +45 = 00101101 dans les trois représentations. −45 : signe-valeur absolue 10101101 ; complément à 1 11010010 ; complément à 2 11010011.

2. 01110110₂ = +118 ; 11110110₂ = −10 ; 10000000₂ = −128 ; 11111111₂ = −1.

3. Sur 6 bits en complément à 2 : −32 à +31.

Exercice 7

a) 50 + 60 = 110, représentable : pas d’overflow.

b) 90 + 50 = 140, supérieur à 127 : overflow.

c) −70 + 25 = −45, représentable : pas d’overflow.

d) −90 − 50 = −140, inférieur à −128 : overflow.

e) −80 + (−20) = −100, représentable : pas d’overflow.

Exercice 8

2D7₁₆ = 727₁₀. La plage d’un entier non signé sur 10 bits est 0 à 1023, donc la valeur est valide. Sur exactement 10 bits : 1011010111₂.

Correction : 727 − 600 = 127. Sur 12 bits en complément à 2, le résultat positif vaut 000001111111₂.